Анатолий Шишков родился 8 декабря 1946 года в селе Черновка Тамбовской области. После окончания Тамбовской художественной школы и художественно-графического факультета Орловского пединститута продолжил профессиональное обучение в Харьковском художественно-промышленном институте.

С 1979 года Анатолий Шишков постоянно живёт и работает в Белгороде. В 1980 году его принимают в ряды Союза художников СССР, а в 2005 году он был удостоен почётного звания «Заслуженный художник России».

За многолетнюю творческую деятельность художник неоднократно награждался правительственными наградами , в том числе медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени, медалью «За заслуги перед Землёй Белгородской» II степени и другими.

Анатолий Александрович в своем творчестве отдаёт предпочтение монументальной скульптуре, а также портрету, рельефу и бытовому жанру. Наибольшую известность скульптору Шишкову принесли скульптурные произведения: памятник русскому актеру М.С. Щепкину (в соавторстве с народным художником России В.М. Клыковым), установленная на Третьем танковом поле богиня Победы «Ника», Ротонда с ангелом, памятники Шухову, Бунину, целый ряд популярных в Белгороде контактных скульптур и многие другие.